Question

【题目】已知函数是偶函数，且，.

（1）当时，求函数的值域；

（2）设R，求函数的最小值；

（3）对（2）中的，若不等式对于任意的恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】

（1）由函数是偶函数，可得，即可求出，进而可求出与的表达式，再由时，函数和都是单调递增函数，可知函数在上单调递增，从而可求出的值域；

（2），令，由（1）知，则，然后利用二次函数的单调性可求得的最小值；

（3）当时，，则，整理得，由于，则对于任意的恒成立，只需令大于在上的最大值，求解即可.

（1）因为函数是偶函数，所以，解得.

故，.

当时，函数和都是单调递增函数，

故函数在上单调递增，

，，

所以当时，函数的值域是.

（2）,

令，由（1）知，则，

因为二次函数开口向上，对称轴为，

故时，在上单调递增，最小值为；

时，在上单调递减，在上单调递增，最小值为；

时，在上单调递减，最小值为8.

故函数的最小值.

（3）当时，，

则即，整理得，

因为，所以对于任意的恒成立，

令，

只需令大于在上的最大值即可.

在上任取，且，则，，

则，

当时，，则，即，故在上单调递增；

当时，，则，即，故在上单调递减；

所以函数在上的最大值为，

故.

所以实数的取值范围是.