题目内容
【题目】已知函数是偶函数,且,.
(1)当时,求函数的值域;
(2)设R,求函数的最小值;
(3)对(2)中的,若不等式对于任意的恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(1)(2)(3)
【解析】
(1)由函数是偶函数,可得,即可求出,进而可求出与的表达式,再由时,函数和都是单调递增函数,可知函数在上单调递增,从而可求出的值域;
(2),令,由(1)知,则,然后利用二次函数的单调性可求得的最小值;
(3)当时,,则,整理得,由于,则对于任意的恒成立,只需令大于在上的最大值,求解即可.
(1)因为函数是偶函数,所以,解得.
故,.
当时,函数和都是单调递增函数,
故函数在上单调递增,
,,
所以当时,函数的值域是.
(2),
令,由(1)知,则,
因为二次函数开口向上,对称轴为,
故时,在上单调递增,最小值为;
时,在上单调递减,在上单调递增,最小值为;
时,在上单调递减,最小值为8.
故函数的最小值.
(3)当时,,
则即,整理得,
因为,所以对于任意的恒成立,
令,
只需令大于在上的最大值即可.
在上任取,且,则,,
则,
当时,,则,即,故在上单调递增;
当时,,则,即,故在上单调递减;
所以函数在上的最大值为,
故.
所以实数的取值范围是.
【题目】(2017·全国卷Ⅲ文,18)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:
最高气温 | [10,15) | [15,20) | [20,25) | [25,30) | [30,35) | [35,40) |
天数 | 2 | 16 | 36 | 25 | 7 | 4 |
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率.
【题目】有甲乙两个班级进行数学考试,按照大于等于85分为优秀,85分以下为非优秀统计成绩后,得到如下的列联表.
优秀 | 非优秀 | 总计 | |
甲班 | 10 | ||
乙班 | 30 | ||
总计 | 105 |
已知在全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为.
(1)请完成上面的列联表;
(2)根据列联表的数据,若按95%的可靠性要求,能否认为“成绩与班级有关系”?
参考公式:K2=
P(K2≥k0) | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |