题目内容

【题目】已知函数是偶函数,且.

(1)当时,求函数的值域;

(2)设R,求函数的最小值

(3)对(2)中的,若不等式对于任意的恒成立,求实数的取值范围.

【答案】(1)(2)(3)

【解析】

(1)由函数是偶函数,可得,即可求出,进而可求出的表达式,再由时,函数都是单调递增函数,可知函数上单调递增,从而可求出的值域;

(2),令,由(1)知,则,然后利用二次函数的单调性可求得的最小值

(3)当时,,则,整理得,由于,则对于任意的恒成立,只需令大于上的最大值,求解即可.

(1)因为函数是偶函数,所以,解得.

.

时,函数都是单调递增函数,

故函数上单调递增,

所以当时,函数的值域是.

(2),

,由(1)知,则

因为二次函数开口向上,对称轴为

时,上单调递增,最小值为

时,上单调递减,在上单调递增,最小值为

时,上单调递减,最小值为8.

故函数的最小值.

(3)当时,

,整理得

因为,所以对于任意的恒成立,

只需令大于上的最大值即可.

上任取,且,则

时,,则,即,故上单调递增;

时,,则,即,故上单调递减;

所以函数上的最大值为

.

所以实数的取值范围是.

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