Question

【题目】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N（μ，σ2）．（12分）
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件数，求P（X≥1）及X的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

9.95	10.12	9.96	9.96	10.01	9.92	9.98	10.04
10.26	9.91	10.13	10.02	9.22	10.04	10.05	9.95

经计算得 = =9.97，s= = ≈0.212，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i=1，2，…，16．
用样本平均数 作为μ的估计值 ，用样本标准差s作为σ的估计值 ，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除（ ﹣3 +3 ）之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．
附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974，0.997416≈0.9592， ≈0.09．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由题可知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.9974，

则落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率为1﹣0.9974=0.0026，

因为P（X=0）= ×（1﹣0.9974）0×0.997416≈0.9592，

所以P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，

又因为X～B（16，0.0026），

所以E（X）=16×0.0026=0.0416；

（2）

（ⅰ）由（1）知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的概率为0.0026，

由正态分布知尺寸落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外为小概率事件，

因此上述监控生产过程方法合理；

（ⅱ）因为用样本平均数 作为μ的估计值 ，用样本标准差s作为σ的估计值 ，

且 = =9.97，s= = ≈0.212，

所以 ﹣3 =9.97﹣3×0.212=9.334， +3 =9.97+3×0.212=10.606，

所以9.22（ ﹣3 +3 ）=（9.334，10.606），

因此需要对当天的生产过程进行检查，剔除（ ﹣3 +3 ）之外的数据9.22，

则剩下的数据估计μ= =10.02，

将剔除掉9.22后剩下的15个数据，利用方差的计算公式代入计算可知σ2≈0.008，

所以σ≈0.09．

【解析】（1.）通过P（X=0）可求出P（X≥1）=1﹣P（X=0）=0.0408，利用二项分布的期望公式计算可得结论；
（2.）（ⅰ）由（1）及知落在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外为小概率事件可知该监控生产过程方法合理；
（ⅱ）通过样本平均数 、样本标准差s估计 、 可知（ ﹣3 +3 ）=（9.334，10.606），进而需剔除（ ﹣3 +3 ）之外的数据9.22，利用公式计算即得结论．