题目内容
【题目】[选修4-5:不等式选讲]
已知函数f(x)=﹣x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x﹣1|.(10分)
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;
(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[﹣1,1],求a的取值范围.
【答案】
(1)
解:当a=1时,f(x)=﹣x2+x+4,是开口向下,对称轴为x= 的二次函数,
g(x)=|x+1|+|x﹣1|= ,
当x∈(1,+∞)时,令﹣x2+x+4=2x,解得x= ,g(x)在(1,+∞)上单调递增,f(x)在(1,+∞)上单调递减,∴此时f(x)≥g(x)的解集为(1,
];
当x∈[﹣1,1]时,g(x)=2,f(x)≥f(﹣1)=2.
当x∈(﹣∞,﹣1)时,g(x)单调递减,f(x)单调递增,且g(﹣1)=f(﹣1)=2.
综上所述,f(x)≥g(x)的解集为[﹣1, ];
(2)
依题意得:﹣x2+ax+4≥2在[﹣1,1]恒成立,即x2﹣ax﹣2≤0在[﹣1,1]恒成立,则只需 ,解得﹣1≤a≤1,
故a的取值范围是[﹣1,1].
【解析】(1.)当a=1时,f(x)=﹣x2+x+4,g(x)=|x+1|+|x﹣1|= ,分x>1、x∈[﹣1,1]、x∈(﹣∞,﹣1)三类讨论,结合g(x)与f(x)的单调性质即可求得f(x)≥g(x)的解集为[﹣1,
];
(2.)依题意得:﹣x2+ax+4≥2在[﹣1,1]恒成立x2﹣ax﹣2≤0在[﹣1,1]恒成立,只需 ,解之即可得a的取值范围.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).(12分)
(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ﹣3σ,μ+3σ)之外的零件数,求P(X≥1)及X的数学期望;
(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ﹣3σ,μ+3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性;
(ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:
9.95 | 10.12 | 9.96 | 9.96 | 10.01 | 9.92 | 9.98 | 10.04 |
10.26 | 9.91 | 10.13 | 10.02 | 9.22 | 10.04 | 10.05 | 9.95 |
经计算得 =
=9.97,s=
=
≈0.212,其中xi为抽取的第i个零件的尺寸,i=1,2,…,16.
用样本平均数 作为μ的估计值
,用样本标准差s作为σ的估计值
,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除(
﹣3
+3
)之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).
附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ﹣3σ<Z<μ+3σ)=0.9974,0.997416≈0.9592, ≈0.09.