题目内容

(本小题满分12分)如图,在多面体ABCDEF中,四边形ABCD是矩形,AB∥EF,∠EAB=90º,AB=2,AD=AE=EF=1,平面ABFE⊥平面ABCD。
(1)求直线FD与平面ABCD所成的角;
(2)求点D到平面BCF的距离;
(3)求二面角B—FC—D的大小。

解:(1)∵平面ABFE⊥平面ABCD,∠EAB=90º,即EA⊥AB,而平面ABFE平面ABCD=AB,∴EA⊥平面ABCD。作FH∥EA交AB于H,则FH⊥平面ABCD。连接DH,则∠FDH为直线FD与平面ABCD所成的角。
在Rt△FHD中,∵FH=EA=1,DH=
,∴∠FDH=,
即直线FD与平面ABCD所成的角为
(2)∵平面ABFE⊥平面ABCD,EA⊥AB,∴EA⊥平面ABCD。
分别以AD,AB,AE所在直线为轴,轴,轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则
     A(0,0,0)、D(1,0,0)、C(1,2,0)、E(0,0,1)、B(0,2,0)、
F(0,1,1),

⊥平面BCF,
=(0,1,1)为平面BCF的一个法向量,

∴点D到平面BCF的距离为
(3)∵,设为平面CDEF的一个法向量,
,得

又(1)知,为平面BCF的一个法向量,
∵〈,〉=
且二面角B—FC—D的平面角为钝角,
∴二面角B—FC—D的大小为120º。
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