题目内容
【题目】已知函数,
为
的导函数.证明:
(1)在区间
存在唯一极小值点;
(2)有且仅有
个零点.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析
【解析】
(1)令,然后得到
,得到
的单调性和极值,从而证明
在区间
存在唯一极小值点;
(2)根据的正负,得到
的单调性,结合
,
,
的值,得到
的图像,从而得到
的单调性,结合
和
的值,从而判断出
有且仅有
个零点.
(1)令,
,
当时,
恒成立,
当时,
.
∴在
递增,
,
.
故存在使得,
时
,
时,
.
综上,在区间
存在唯一极小值点
.
(2)由(1)可得
时,
,
单调递减,
时,
,
单调递增.
且,
.
故的大致图象如下:
当时,
,
∴此时,
单调递增,而
.
故存在,使得
故在上,
的图象如下:
综上,时,
,
时,
,
时,
.
∴在
递增,在
递减,在
递增,
而,
,
又当时,
,
恒成立.
故在上
的图象如下:
∴有且仅有
个零点.
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练习册系列答案
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【题目】年以来精准扶贫政策的落实,使我国扶贫工作有了新进展,贫困发生率由
年底的
下降到
年底的
,创造了人类减贫史上的的中国奇迹.“贫困发生率”是指低于贫困线的人口占全体人口的比例,
年至
年我国贫困发生率的数据如下表:
年份 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
贫困发生率 | 10.2 | 8.5 | 7.2 | 5.7 | 4.5 | 3.1 | 1.4 |
(1)从表中所给的个贫困发生率数据中任选两个,求两个都低于
的概率;
(2)设年份代码,利用线性回归方程,分析
span>年至
年贫困发生率
与年份代码
的相关情况,并预测
年贫困发生率.
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:
(
的值保留到小数点后三位)