Question

19．已知函数f（x）=2cosx（sinx+cosx），则下列说法正确的是（　　）

• A． f（x）的最小正周期为2π
• B． f（x）的图象关于点$（-\frac{π}{8}，0）$对称
• C． f（x）的图象关于直线$x=\frac{π}{8}$对称
• D． f（x）的图象向左平移$\frac{π}{4}$个单位长度后得到一个偶函数图象

Answer 1

分析 利用二倍角公式化简可得f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+1，由正弦函数的图象和性质逐选项判断即可．

解答 解：∵f（x）=2cosx（sinx+cosx）=2sinxcosx+2cos²x=sin2x+1+cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$）+1，
∴f（x）的最小正周期为$\frac{2π}{2}=π$，A错误；
由f（-$\frac{π}{8}$）=$\sqrt{2}$sin0+1=1，B错误；
由f（$\frac{π}{8}$）=$\sqrt{2}$sin$\frac{π}{2}$+1=$\sqrt{2}+$1，C正确；
f（x）的图象向左平移$\frac{π}{4}$个单位长度后得到y=$\sqrt{2}$cos（2x+$\frac{π}{4}$）+1，不为偶函数，故D错误．
故选：C．

点评 本题主要考查了二倍角公式，正弦函数的图象和性质的应用，属于基础题．