题目内容

15.设$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$是夹角为60°的单位向量,则2$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$和3$\overrightarrow a$-2$\overrightarrow b$的夹角为(  )
A.30°B.60°C.120°D.150°

分析 根据向量数量积的应用,求出相应的长度和数量积即可得到结论.

解答 解:∵$\overrightarrow a$、$\overrightarrow b$是夹角为60°的单位向量,
∴$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=|$\overrightarrow a$||$\overrightarrow b$|cos60°=$\frac{1}{2}$,
则(2$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$)•(3$\overrightarrow a$-2$\overrightarrow b$)=6$\overrightarrow a$2-2$\overrightarrow b$2-$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$=6-2$-\frac{1}{2}$=$\frac{7}{2}$,
|2$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$|=$\sqrt{(2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})^{2}}$=$\sqrt{4{\overrightarrow{a}}^{2}+4\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}}$=$\sqrt{4+2+1}$=$\sqrt{7}$,
|3$\overrightarrow a$-2$\overrightarrow b$|=$\sqrt{(3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b})^{2}}$=$\sqrt{9{\overrightarrow{a}}^{2}-12\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+4{\overrightarrow{b}}^{2}}$=$\sqrt{9-12×\frac{1}{2}+4}$=$\sqrt{13-6}$=$\sqrt{7}$,
∴2$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$和3$\overrightarrow a$-2$\overrightarrow b$的夹角α满足cosα=$\frac{(2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})•(3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b})}{|2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}||3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}|}$=$\frac{\frac{7}{2}}{\sqrt{7}×\sqrt{7}}=\frac{1}{2}$,
即α=60°,
故选:B.

点评 本题主要考查向量夹角的求解,根据向量数量积的应用分别求出向量长度是解决本题的关键.

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