Question

【题目】动点到距离与到直线的距离之比为，记动点的轨迹为.

（1）求出曲线的方程，并求出的最小值，其中点

（2）是曲线上的动点，且直线经过定点，问在轴上是否存在定点，使得，若存在，请求出定点；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1），最小值为3；（2）存在，定点.

【解析】

（1）设动点为，设点到直线的距离为，由动点到距离与到直线的距离之比为，利用直接法求出点的轨迹；又，的最小值即为点到直线的距离；

（2）假设存在满足题意的定点，设，设直线的方程为， ，，由消去，得，利用韦达定理以及，得直线与的斜率和为零，建立方程求解即可.

（1）设动点，设点到直线的距离为，

由已知，可得，

化简得到轨迹的方程为：，

所以，的最小值即为点到直线的距离，最小值为3；

（2）假设存在满足题意的定点，设，设直线的方程为， ，，

由消去，得，

由直线过椭圆内一点作直线，故，

由韦达定理得：

，，

由，得直线与的斜率和为零，所以有：

，

，

故：，,

所以存在定点，当直线斜率不存在时定点也符合题意，

综上所述，定点.