Question

5．方程lg|x|=3-（|x|-2006）（|x|-2008）的解的个数为（　　）

• A． 2
• B． 4
• C． 6
• D． 8

Answer 1

分析 求导f′（x）=$\frac{1}{xln10}$+2x-4014，从而可得?x₀∈（0，1），x₁∈（2006，2007），使f′（x₀）=0，f′（x₁）=0；从而可判断f（x）在（0，x₀）上为增函数，在（x₀，x₁）上是减函数，在（x₁，+∞）上是增函数；再判断零点的个数即可．

解答 解：令f（x）=lgx-3+（x-2006）（x-2008），
则f′（x）=$\frac{1}{xln10}$+2x-4014，
则?x₀∈（0，1），x₁∈（2006，2007），
使f′（x₀）=0，f′（x₁）=0；
故f（x）在（0，x₀）上为增函数，在（x₀，x₁）上是减函数，在（x₁，+∞）上是增函数；
而$\underset{lim}{x→{0}^{+}}$（lgx-3+（x-2006）（x-2008））=-∞，
f（1）=lg1-3+（1-2006）（1-2008）＞0，
f（2007）=lg2007-3+（2007-2006）（2007-2008）=lg2007-4＜0，
f（10000）=lg10000-3+（10000-2006）（10000-2008）=1+（10000-2006）（10000-2008）＞0，
故f（x）=lgx-3+（x-2006）（x-2008）在（0，+∞）上有三个零点，
故方程lg|x|=3-（|x|-2006）（|x|-2008）的解的个数为6．
故选C．

点评 本题考查了导数的综合应用及函数的零点与方程的根的关系应用，属于中档题．