Question

14．若（x²-$\frac{1}{x}$）ⁿ的展开式中含x的项为第6项，设（1-3x）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，则|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=2¹⁶-1．

Answer 1

分析 由已知求出n值，代入（1-3x）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，分别取x=0和x=-1求得|a₁|+|a₂|+…+|a_n|的值．

解答 解：由${T}_{r+1}={C}_{n}^{r}（{x}^{2}）^{n-r}（-\frac{1}{x}）^{r}$=$（-1）^{r}{C}_{n}^{r}{x}^{2n-3r}$，
∵（x²-$\frac{1}{x}$）ⁿ的展开式中含x的项为第6项，∴当r=5时，2n-3×5=1，即n=8．
则（1-3x）ⁿ=（1-3x）⁸=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₈x⁸，
取x=0，得a₀=1，
取x=-1，得${a}_{0}-{a}_{1}+{a}_{2}-{a}_{3}+{a}_{4}-{a}_{5}+{a}_{6}-{a}_{7}+{a}_{8}={2}^{16}$，
∴|a₁|+|a₂|+…+|a₈|=-a₁+a₂-a₃+a₄-a₅+a₆-a₇+a₈=2¹⁶-1．
故答案为：2¹⁶-1．

点评 本题考查二项式系数的性质，训练了代入法求二项展开式中项的系数和，是基础的计算题．