Question

13．平行四边形ABCD中，∠A=60°，AB=2，AD=3，沿对角线BD将其折起，使得AC=BD，则四面体A-BCD的外接球的表面积为10π．

Answer 1

分析 由题意，三对对棱可看作是一个长方体面上的对角线，设长方体的棱长为a，b，c，则a²+b²=4，b²+c²=9，a²+c²=7，求出a²+b²+c²=10，可得四面体A-BCD的外接球的直径，即可求出四面体A-BCD的外接球的表面积．

解答 解：由题意，AC=BD=$\sqrt{4+9-2×2×3×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{7}$，
∵AB=CD=2，AD=BC=3，
∴三对对棱可看作是一个长方体面上的对角线，
设长方体的棱长为a，b，c，则a²+b²=4，b²+c²=9，a²+c²=7，
∴a²+b²+c²=10，
∴四面体A-BCD的外接球的直径为$\sqrt{10}$，
∴面体A-BCD的外接球的表面积为$4π•（\frac{\sqrt{10}}{2}）^{2}$=10π．
故答案为：10π．

点评 本题考查四面体A-BCD的外接球的表面积，考查学生的计算能力，确定四面体A-BCD的外接球的直径是关键．