题目内容
【题目】已知函数.
(1)当时,求曲线
在点
处的切线方程;
(2)若函数在其定义域内为增函数,求实数
的取值范围;
(3)设函数,若在区间
上至少存在一点
,使得
成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1) (2)
(3)
【解析】
(1)求出f(x)的导数,求出f′(1),f(1),代入切线方程即可;
(2)求出函数的导数,通过讨论a的范围结合二次函数的性质得到函数的单调性,从而求出a的具体范围;
(3)构造函数(x)=f(x)﹣g(x),x∈[1,e],只需(x)max>0,根据函数的单调性求出(x)max,从而求出a的范围.
(1)解: 当时,
,
,
,
曲线在点
处的斜率为
, 故曲线
在点
处的切线方程为
,即
(2)解: . 令
,要使
在定义域
内是增函数,只需
≥
在区间
内恒成立. 依题意
,此时
的图象为开口向上的抛物线,
,其对称轴方程为
,
,则只需
≥
,即
≥
时,
≥
,
≥
,
所以定义域内为增函数,实数
的取值范围是
.
(3)解: 构造函数,
,依题意
,
由(2)可知≥
时,
为单调递增函数,
即在
上单调递增,
,则
,
此时,,即
成立.
当≤
时,因为
,
,
故当值取定后,
可视为以
为变量的单调递增函数,
则≤
,
,
故≤
,
即≤
,不满足条件.
所以实数的取值范围是
.
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