题目内容
【题目】如图,在正四棱柱中,已知AB=2,
,
E、F分别为、
上的点,且
.
(1)求证:BE⊥平面ACF;
(2)求点E到平面ACF的距离.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
分析:(1)以为原点,
所在直线分别为
轴建立空间直角坐标系,写出要用的点的坐标,要证明线与面垂直,只需证明这条直线与平面上的两条直线垂直即可;(2)
为平面
的一个法向量,向量
在
上的射影长即为
到平面
的距离,根据点到面的距离公式可得到结论.
详解:(1)证明:以D为原点,DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系,则D(0,0,0)、A(2,0,0)、B(2,2,0)、C(0,2,0)、D1(0,0,5)、E(0,0,1)、F(2,2,4).
∴=(-2,2,0)、
=(0,2,4)、
=(-2,-2,1)、
=(-2,0,1).
∵·
=0,
·
=0,
∴BE⊥AC,BE⊥AF,且AC∩AF=A.
∴BE⊥平面ACF.
(2)由(1)知,为平面ACF的一个法向量,
∴点E到平面ACF的距离d==
.
故点E到平面ACF的距离为.
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