题目内容

直三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2,D为CC1中点.

(1)求证:直线AB1⊥平面A1BD.
(2)求二面角A-A1D-B正弦值的大小.
(1)证明过程详见试题解析;(2)二面角A-A1D-B正弦值为.

试题分析:(1)建立如下图的空间坐标系,要证直线AB1⊥平面A1BD,只需证明
即可.(2)先求出平面A1AD的一个法向量,再用向量夹角公式求二面角A-A1D-B正弦值.
试题解析:(1)取BC中点O,连接AO,
∵△ABC为正三角形,∴AO⊥BC,
∵直棱柱ABC-A1B1C1,∴平面ABC⊥平面BCC1B1且相交于BC,
∴AO⊥平面BCC1B1.取B1C1中点O1,则OO1∥BB1,∴OO1⊥BC.
以O为原点,如图建立空间直角坐标系O-xyz,

则B(1,0,0),D(-1,1,0),A1(0,2,)A(0,0,),B1(1,2,0),C(-1,0,0),


∴直线AB1⊥平面A1BD.             6分
(2)设平面A1AD的一个法向量为
n=(x,y,z).

令z=1得n=(-,0,1)为平面A1AD的一个法向量.
由(1)知为平面A1BD的法向量.

∴二面角A-A1D-B正弦值的大小为.   12分
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