题目内容
【题目】如图，直三棱柱
中，
，
，
，
，点
是棱
上不同于
的动点.
（1）证明：
；
（2）若平面
将棱柱分成体积相等的两部分，求此时二面角
的余弦值.
【答案】（1）见解析； （2）
.
【解析】
（1）先由余弦定理可求得
，再由勾股定理可得
，然后由
和
即可证得
平面
，从而得证；
（2）由题设知，
，结合柱体的体积可得
，所以
是
的中点，以
为坐标原点，
的方向为
轴，
轴，
轴建立空间直角坐标系，进而利用法向量求解二面角即可.
（1）证明：（方法一）在
中，由余弦定理
.
∴，则
，∴.
∴，
又，
，
∴平面
又
平面，
∴
证明：（方法二）在中，
，
∴，∴
又，，
∴平面
又平面，
∴
（2）
由题设知，
又
，∴是的中点.
∴以为坐标原点，的方向为轴，轴，轴建立如图的空间直角坐标，
∴
，
，
，
，
，
设
是平面
的法向量，
，
，令
，
，
∴
平面
的法向量
，
.
所以二面角
的余弦值为.
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