Question

13．已知双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{5}$=1上的一点P到F（3，0）的距离为6，O为坐标原点，$\overrightarrow{OQ}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{OF}$），则|$\overrightarrow{OQ}$|=（　　）

• A． 1
• B． 5
• C． 2或5
• D． 1或5

Answer 1

分析 分类讨论，利用双曲线的第二定义，求出P的坐标，利用向量知识，即可求解．

解答 解：设P（x，y），则
P在右支上，F（3，0）右是焦点，右准线方程为x=$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{6}{x-\frac{4}{3}}=\frac{3}{2}$，∴x=$\frac{16}{3}$，∴y=±$\frac{5}{3}\sqrt{11}$，
∵O为坐标原点，$\overrightarrow{OQ}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{OF}$），∴|$\overrightarrow{OQ}$|=$\sqrt{（\frac{25}{6}）^{2}+（\frac{5\sqrt{11}}{6}）^{2}}$=5；
P在左支上，（-3，0）是左焦点，左准线方程为x=-$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{8-6}{-\frac{4}{3}-x}=\frac{3}{2}$，∴x=-$\frac{8}{3}$，∴y=±$\frac{\sqrt{35}}{3}$，
∵O为坐标原点，$\overrightarrow{OQ}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{OF}$），∴|$\overrightarrow{OQ}$|=$\sqrt{（\frac{1}{6}）^{2}+（\frac{\sqrt{35}}{6}）^{2}}$=1．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的方程于性质，考查分类讨论的数学思想，考查向量知识的运用，属于中档题．