Question

20．等比数列{a_n}满足a₁+a₆=11，a₃a₄=$\frac{32}{9}$，且公比q∈（0，1）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若该数列前n项和S_n满足对任意的n∈N^*有m＞S_n成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用数列{a_n}为等比数列可知a₁a₆=a₃a₄=$\frac{32}{9}$，通过a₁+a₆=11可知a₁+$\frac{32}{9{a}_{1}}$=11，整理得$9{{a}_{1}}^{2}$-99a₁+32=0，进而可知a₁=$\frac{32}{3}$或a₁=$\frac{1}{3}$（舍），从而a₆=$\frac{1}{3}$，q=$\root{5}{\frac{{a}_{6}}{{a}_{1}}}$=$\frac{1}{2}$，计算即得结论；
（2）通过（1）可知a_n=$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{{2}^{n-6}}$，利用等比数列的求和公式计算可知S_n=$\frac{64}{3}$•（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$），进而计算可得结论．

解答 解：（1）∵数列{a_n}为等比数列，a₃a₄=$\frac{32}{9}$，
∴a₁a₆=a₃a₄=$\frac{32}{9}$，
又∵a₁+a₆=11，
∴a₁+$\frac{32}{9{a}_{1}}$=11，
整理得：$9{{a}_{1}}^{2}$-99a₁+32=0，
解得：a₁=$\frac{99±93}{18}$，
∴a₁=$\frac{32}{3}$，或a₁=$\frac{1}{3}$（舍），
∴a₆=11-a₁=$\frac{1}{3}$，
q=$\root{5}{\frac{{a}_{6}}{{a}_{1}}}$=$\root{5}{\frac{\frac{1}{3}}{\frac{32}{3}}}$=$\root{5}{\frac{1}{32}}$=$\frac{1}{2}$，
∴数列{a_n}的通项公式a_n=$\frac{32}{3}$•$\frac{1}{{2}^{n-1}}$=$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{{2}^{n-6}}$；
（2）由（1）可知a_n=$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{{2}^{n-6}}$，
∴S_n=$\frac{1}{3}$•$\frac{32•（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$
=$\frac{64}{3}$•（1-$\frac{1}{{2}^{n}}$），
∵对任意的n∈N^*有m＞S_n成立，
∴m≥$\frac{64}{3}$，
∴实数m的取值范围为：[$\frac{64}{3}$，+∞）．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．