题目内容
【题目】已知函数.
(Ⅰ)当时,求曲线
在点
处切线的方程;
(Ⅱ)求函数的单调区间;
(Ⅲ)当时,
恒成立,求a的取值范围.
【答案】(1).
(2)时,
的单调增区间为
;单调减区间为
和
;
时,
的单调增区间为
和
;单调减区间为
.
(3).
【解析】
(1)求出函数的导函数
,代入
,求得
,再求
,利用直线方程的点斜式求解即可.
(2)求出,通过讨论
的取值,分别求出
,
所对应的区间即为函数的单调区间.
(3)当时
恒成立等价于
在
恒成立,令
,由导数求出函数
的最大值,即可求得
的取值范围.
(1),得
.
当时,
,
,即函数
在
处的切线斜率为0.
又,故曲线
在点
处切线的方程为
.
(2).
,
①若,由
得
;由
得
,又
,
所以在
上单调递增,在
和
上单调递减.
②若,由
得
;由
得
,又
,
所以在
和
上单调递增,在
上单调递减.
综上所述,时,
的单调增区间为
;单调减区间为
和
.
时,
的单调增区间为
和
;单调减区间为
.
(3)时,
恒成立,即
在
恒成立.
令,则
.
则时,
;
,
.
在
上单调递减,在
上单调递增,则
.
.
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