题目内容

【题目】已知 分别是椭圆 )的左、右焦点,离心率为 分别是椭圆的上、下顶点,

(1)求椭圆的方程;

(2)过作直线交于 两点,求三角形面积的最大值(是坐标原点).

【答案】(1);(2)

【解析】试题分析:(1)根据离心率为 ,列出关于的方程组,结合性质 ,求出,即可得椭圆的方程;(2)直线斜率存在,设其方程为.,直线方程与椭圆方程联立,根据韦达定理,弦长公式、点到直线距离公式及三角形面积公式将角形面积用 表示,利用基本不等式 即可得结果.

试题解析:(1)由题知,

,∴,①

,∴,∴,②

①②联立解得 ,∴椭圆的方程为

(2)设 ,显然直线斜率存在,设其方程为

代入,整理得

,即

所以的距离

所以三角形面积

,所以

当且仅当,即,即,即时取等号,

所以面积的最大值为

【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值,属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法:一是几何意义,特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决,非常巧妙;二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题,然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法,本题(2)就是用的这种思路,利用均值不等式法求三角形最值的.

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练习册系列答案
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