题目内容
【题目】已知,
分别是椭圆
:
(
)的左、右焦点,离心率为
,
,
分别是椭圆的上、下顶点,
.
(1)求椭圆的方程;
(2)过作直线
与
交于
,
两点,求三角形
面积的最大值(
是坐标原点).
【答案】(1);(2)
.
【解析】试题分析:(1)根据离心率为,
,列出关于
、
、
的方程组,结合性质
,求出
、
、
,即可得椭圆
的方程;(2)直线
斜率存在,设其方程为
.,直线方程与椭圆方程联立,根据韦达定理,弦长公式、点到直线距离公式及三角形面积公式将角形
面积用
表示,利用基本不等式 即可得结果.
试题解析:(1)由题知, ,
,
,
∴,∴
,①
∵,∴
,∴
,②
①②联立解得,
,∴椭圆
的方程为
.
(2)设,
,显然直线
斜率存在,设其方程为
,
代入,整理得
,
则,即
,
,
,
,
所以到
的距离
,
所以三角形面积
,
设,所以
,
当且仅当,即
,即
,即
时取等号,
所以面积的最大值为
.
【方法点晴】本题主要考查待定系数法求椭圆方程及圆锥曲线求最值,属于难题.解决圆锥曲线中的最值问题一般有两种方法:一是几何意义,特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决,非常巧妙;二是将圆锥曲线中最值问题转化为函数问题,然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法,本题(2)就是用的这种思路,利用均值不等式法求三角形最值的.
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练习册系列答案
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寿命(h) | 100~200 | 200~300 | 300~400 | 400~500 | 500~600 |
个 数 | 20 | 30 | 80 | 40 | 30 |
(1)列出频率分布表;
(2)画出频率分布直方图;
(3)估计元件寿命在100~400h以内的在总体中占的比例.