Question

【题目】已知函数f（x）= ．
（1）判断并用定义证明函数的奇偶性；
（2）判断并用定义证明函数在（﹣∞，0）上的单调性．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），它关于原点对称，

且 ，

∴f（x）为偶函数

（2）解：任取x1，x2∈（﹣∞，0），且x1＜x2，

则 = ，

∵x1＜x2＜0，∴x1+x2＜0，x2﹣x1＞0， ，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），

∴f（x）在（﹣∞，0）上为增函数

【解析】（1）直接利用函数的奇偶性定义求证即可；（2）直接利用函数单调性的定义求证即可；
【考点精析】利用奇偶性与单调性的综合对题目进行判断即可得到答案，需要熟知奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．