Question

(本小题满分12分）
如图，直三棱柱中，AC=BC=1, AA_i="3"  D为CC_i上的点，二面角A-A₁B-D的余弦值为
(I )求证：CD=2;
(II)求点A到平面A₁BD的距离.

Answer 1

（Ⅰ）取AB中点E，A₁B₁中点G，连结EG，交A₁B于F，连结CE、C₁G，作DM⊥GE于M．
∵平面C₁GEC⊥平面A₁ABB₁，∴DM⊥平面A₁ABB₁．
作MN⊥A₁B于N，连结DN，则MN为DN在平面A₁ABB₁上的射影，则∠DNM为二面角B₁-A₁B-D的平面角．……………………………………………………………4分
∴cos∠DNM＝，DM＝C₁G＝，∴MN＝．
∵sin∠MFN＝＝，∴MF＝，∴DC＝2．…………………………7分
（Ⅱ）在△A₁BD中，A₁D＝，BD＝，A₁B＝．
cos∠A₁DB＝＝－，sin∠A₁DB＝，
S△A₁BD＝A₁D·BDsin∠A₁DB＝，
又S△A₁AB＝××3＝，点D到面A₁AB的距离DM＝CE＝，
设点A到平面A₁BD的距离为d，则
S△A₁BD·d＝S△A₁AB×，∴d＝．
故点A到平面A₁BD的距离为．………………………………………………12分

略