Question

【题目】如图，，，是同一平面内的三条平行直线， 与之间的距离是1，与之间的距离是2，三角形的三个顶点分别在，，上.

（1）若为正三角形，求其边长；

（2）若是以B为直角顶点的直角三角形，求其面积的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）2

【解析】

（1）根据题意作高，，.根据等边三角形及直角三角形的性质，设，则，求出，根据三角形相似根据其相似比可求出，的长，再根据勾股定理即可解答.

（2）过点B作，交于M，交于N，设，，由，得，则，，，由此利用均值不等式能求出面积的最小值.

解：（1）作高，，（如图），

设，则，

于是，，

∵，

，

∴，

∴，即，∴，

∴，

∵，∴，

∴.

∴的边长为.

（2）过点B作，交于M，交于N，设，，

则，∴，即，∴，

，，

∵是以B为直角顶点的直角三角形，

∴

当且仅当，即，时，面积取最小值2.