题目内容
【题目】如图,在P地正西方向8km的A处和正东方向1km的B处各有一条正北方向的公路AC和BD,现计划在AC和BD路边各修建一个物流中心E和F,为缓解交通压力,决定修建两条互相垂直的公路PE和PF,设
Ⅰ
为减少对周边区域的影响,试确定E,F的位置,使
与
的面积之和最小;
Ⅱ
为节省建设成本,求使
的值最小时AE和BF的值.
【答案】(1) 当km,
km时,
与
的面积之和最小.
(2) 当为
,且
为
时,
的值最小.
【解析】
试题分析:(1)用角表示
,从而表示三角形
的面积,求出面积之和用基本不等式求最小值,求出等号成立时的
,即可确定
的位置;
(2) 用角表示
,构建函数
,用导数与最值的关系求之即可.
试题解析:(1)在Rt△PAE中,由题意可知,AP=8,则
.
所以. 2分
同理在Rt△PBF中,,PB=1,则
,
所以. 4分
故△PAE与△PFB的面积之和为5分
=8,
当且仅当,即
时,取“=”,
故当km,
km时,
与
的面积之和最小. 6分
(2)在Rt△PAE中,由题意可知,则
.
同理在Rt△PBF中,,则
.
令,
, 8分
则, 10分
令,得
,记
,
,
当时,
,
单调减;
当时,
,
单调增.
所以时,
取得最小值, 12分
此时,
.
所以当km,且
km时,PE+PF的值最小. 14分
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