题目内容
【题目】已知函数.
(1)求的极大值点;
(2)当,
时,若过点
存在3条直线与曲线
相切,求t的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2).
【解析】
(1)先求导数,求出导函数的零点,安照、
、
三种情况讨论
的极大值点;
(2)设切点,利用该点的导数等于切线斜率、切线过点
两个条件整理得到关于
的方程
,进一步研究函数
的取值情况.
解:(1),
令,得
或
.
若,则当
时,
;
当时,
,
故在
,
上单调递增,在
上单调递减,
此时的极大值点为
;
若,则当
时,
;
当时,
,
故在
,
上单调递增,在
上单调递减,
此时的极大值点为
;
若,
在
上单调递增,无极值.
(2)设过点的直线与曲线
相切于点
,
则,且切线斜率
,
所以切线方程为,
因此,整理得
,
构造函数,
则“若过点存在3条直线与曲线
相切”等价于“
有三个不同的零点”,
,
与
的关系如下表:
+ | 0 | 0 | + | ||
极大值 | 极小值 |
所以的极大值为
,极小值为
,
要使有三个解,即
且
,解得
.
因此,当过点存在3条直线与曲线
相切时,
t的取值范围是.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】当今世界科技迅猛发展,信息日新月异.为增强全民科技意识,提高公众科学素养,某市图书馆开展了以“亲近科技、畅想未来”为主题的系列活动,并对不同年龄借阅者对科技类图书的情况进行了调查.该图书馆从只借阅了一本图书的借阅者中随机抽取100名,数据统计如表:
借阅科技类图书(人) | 借阅非科技类图书(人) | |
年龄不超过50岁 | 20 | 25 |
年龄大于50岁 | 10 | 45 |
(1)是否有99%的把握认为年龄与借阅科技类图书有关?
(2)该图书馆为了鼓励市民借阅科技类图书,规定市民每借阅一本科技类图书奖励积分2分,每借阅一本非科技类图书奖励积分1分,积分累计一定数量可以用积分换购自己喜爱的图书.用表中的样本频率作为概率的估计值.
(i)现有3名借阅者每人借阅一本图书,记此3人增加的积分总和为随机变量ξ,求ξ的分布列和数学期望;
(ii)现从只借阅一本图书的借阅者中选取16人,则借阅科技类图书最有可能的人数是多少?
附:K2,其中n=a+b+c+d.
P(K2≥k) | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |