题目内容
【题目】平面直角坐标系中,已知点
,直线
,动点
到点
的距离比它到直线
的距离小2.
(1)求点的轨迹
的方程;
(2)设斜率为2的直线与曲线交于
、
两点(点
在第一象限),过点
作
轴的平行线
,问在坐标平面
中是否存在定点
,使直线
交直线
于点
,且
恒成立?若存在,求出点
的坐标,若不存在,说明理由.
【答案】(1)(2)存在;
【解析】
(1)根据定义可知动点的轨迹为抛物线,且
,所以方程为
;
(2)假设存在点满足题意,由
知
,设斜率为2的直线方程为
,联立直线与抛物线,利用韦达定理以及斜率公式可得结果.
(1)设,动点
到点
的距离比到直线
的距离小2,
即是动点到点
的距离等于到直线
的距离,
由抛物线的定义知动点的轨迹为抛物线,且
,
所以,所以其标准方程为
.
(2)假设存在点满足题意,
设斜率为2的直线方程为,
设,
由知
,
由,
整理得
所以
所以.
即,
整理得,
∴存在满足题意.
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练习册系列答案
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