Question

【题目】如图，在四棱锥中，侧面为等边三角形，且垂直于底面， ，分别是的中点.

（1）证明：平面平面；

（2）已知点在棱上且，求直线与平面所成角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）由平面几何知识可得出四边形是平行四边形，可得面，再由面面平行的判定可证得面面平行；

（2）由（1）可知，两两垂直，故建立空间直角坐标系，可求得面PAB的法向量，再运用线面角的向量求法，可求得直线与平面所成角的余弦值.

（1），,又，，,

而、分别是、的中点，， 故面,

又且，故四边形是平行四边形,面,

又，是面内的两条相交直线, 故面面.

（2）由（1）可知，两两垂直，故建系如图所示,则

，

，，,

设是平面PAB的法向量,，

令，则,,

直线NE与平面所成角的余弦值为.