题目内容
定义
为有限项数列
的波动强度.
(Ⅰ)当
时,求
;
(Ⅱ)若数列
满足
,求证:
;
(Ⅲ)设
各项均不相等,且交换数列
中任何相邻两项的位置,都会使数列的波动强度增加,求证:数列
一定是递增数列或递减数列



(Ⅰ)当


(Ⅱ)若数列



(Ⅲ)设



(Ⅰ)解:
………………1分
. ………………3分
(Ⅱ)证明:因为
,
,
所以
. ……………4分
因为
,所以
,或
.
若
,则

当
时,上式
,
当
时,上式
,
当
时,上式
,
即当
时,
. ……………………6分
若
,
则
,
.(同前)
所以,当
时,
成立. …………………7分
(Ⅲ)证明:由(Ⅱ)易知对于四个数的数列,若第三项的值介于前两项的值之间,则交换第二项与第三项的位置将使数列波动强度减小或不变.(将此作为引理)
下面来证明当
时,
为递减数列.
(ⅰ)证明
.
若
,则由引理知交换
的位置将使波动强度减小或不变,与已知矛盾.
若
,则
,与已知矛盾.
所以,
. ………………………9分
(ⅱ)设
,证明
.
若
,则由引理知交换
的位置将使波动强度减小或不变,与已知矛盾.
若
,则
,与已知矛盾.
所以,
. …………………11分
(ⅲ)设
,证明
.
若
,考查数列
,
则由前面推理可得
,与
矛盾.
所以,
. …………………12分
综上,得证.
同理可证:当
时,有
为递增数列. ……………………13分


(Ⅱ)证明:因为


所以

因为



若



当


当


当


即当


若

则


所以,当


(Ⅲ)证明:由(Ⅱ)易知对于四个数的数列,若第三项的值介于前两项的值之间,则交换第二项与第三项的位置将使数列波动强度减小或不变.(将此作为引理)
下面来证明当


(ⅰ)证明

若


若


所以,

(ⅱ)设


若


若


所以,

(ⅲ)设


若


则由前面推理可得


所以,

综上,得证.
同理可证:当


略

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