Question

9．如图（1），已知A，B，C．P四点共面，PC上AC，AB=BC，D，F分别为AC，PC的中点，DE⊥AP于E．把平面四边形ABCP沿AC折成直二面角，如图（2）．
（1）求i正：AP⊥平面BDE；
（2）求证：平面BDF⊥平面BDE；
（3）延长AB至H，使得AB=BH，如图（3）．在AP上是否存在点Q，使得平面CHQ∥平面BDE？若存在，指出Q点位置；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）证明BD⊥平面ACP，可得BD⊥AP，利用DE⊥AP，BD∩DE=D，即可证明AP⊥平面BDE；
（2）证明DF∥AP，利用AP⊥平面BDE，可得DF⊥平面BDE，即可证明平面BDF⊥平面BDE；
（3）利用平面与平面平行的判定，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵D为AC的中点，AB=BC，∴BD⊥AC，
∵把平面四边形ABCP沿AC折成直二面角，
∴平面ACP⊥平面ABC，平面ACP∩平面ABC=AC，
∴BD⊥平面ACP，
∵AP?平面ACP，
∴BD⊥AP，
∵DE⊥AP，BD∩DE=D，
∴AP⊥平面BDE；
（2）证明：∵D，F分别为AC，PC的中点，
∴DF∥AP，
∵AP⊥平面BDE，
∴DF⊥平面BDE，
∵DF?平面BDF，
∴平面BDF⊥平面BDE；
（3）解：存在点Q，使得平面CHQ∥平面BDE，此时AE=EQ．

点评 本题考查线面、面面垂直，考查面面平行，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．