题目内容

附加题:已知半椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(x≥0)
与半椭圆
y2
b2
+
x2
c2
=1(x≤0)
组成的曲线称为“果圆”,其中a2=b2+c2,a>b>c>0,F0、F1、F2是对应的焦点.
(1)(文)若三角形F0F1F2是边长为1的等边三角形,求“果圆”的方程.
(2)(理)当|A1A2|>|B1B2|时,求
b
a
的取值范围.
(1)∵F0(c,0),F1(0,-
b2-c2
)
F2(0,
b2-c2
)

|F0F1|=
(b2-c2)+c2
=b=1
|F1F2|=2
b2-c2
=1

于是c2=
3
4
a2=b2+c2=
7
4

所求“果圆”方程为
4
7
x2+y2=1
(x≥0)和y2+
4
3
x2=1
(x≤0).
(2)由题意,得a+c>2b,c>2b-a,即
a2-b2
>2b-a

两边平方得a2-b2>(2b-a)2,得
b
a
4
5

又b>c,b,
∴b2>c2,b2>a2-b2
b2
a2
1
2

b
a
∈(
2
2
4
5
)
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