题目内容

已知椭圆C的焦点为F1(-1,0)、F2(1,0),点P(-1,
2
2
)在椭圆上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若抛物线E:y2=2px(p>0)与椭圆C相交于点M、N,当△OMN(O是坐标原点)的面积取得最大值时,求P的值.
(3)在(2)的条件下,过点F2作任意直线l与抛物线E相交于点A、B两点,则直线AF1与直线BF1的斜率之和是否为定值?若是,求出定值;若不是,说明理由.
(1)依题意,设椭圆C的方程为
x2
a2
+
y2
b2
=1,…(1分),
∵椭圆C的焦点为F1(-1,0)、F2(1,0),点P(-1,
2
2
)在椭圆上,
∴2a=|PF1|+|PF2|=
0+(
2
2
)2
+
4+(
2
2
)2
=2
2
,…(2分),
∴a=
2
,c=1,…(3分),
∴b=
a2-b2
=1,…(4分),
∴椭圆C的方程为
x2
2
+y2=1
.…(4分)
(2)根据椭圆和抛物线的对称性,
设M(x0,y0)、N(x0,-x0),(x0,y0>0)…(5分),
△OMN的面积S=
1
2
x0•(2y0)
=x0y0,…(6分),
∵M(x0,y0)在椭圆上,∴
x02
2
+y02
=1,∴y02=1-
x02
2

那么S2=x02y02=x02(1-
x02
2
)=-
1
2
(x02-1)2+
1
2

x02=1时,Smax2=
1
2

即当x0=1,(x0>1)时,Smax=
2
2

将x0=1代入y02=1-
x02
2
x0=1
y0=
2
2
,…(8分),
∵M(1,
2
2
)在抛物线y2=2px上,∴
1
2
=2p

解得p=
1
4
.…(9分),
(3)(A)当直线l垂直于x轴时,
根据抛物线的对称性,有∠AF1F2=∠BF1F2
kAF2+kBF1=0.…(10分),
(B)当直线l与x轴不垂直时,
依题意设直线l的方程为y=k(x-1),k≠0,
A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点的坐标满足方程组
y=k(x-1)
y2=
1
2
x,x>0
.…(11分),
化简得2k2x2-(4k2+1)x+2k2=0,
依韦达定理得
x1+x2=
4k2+1
2k2
x1x2=1
,…(12分),
kAF1=
y1
x1+1
=
k(x1-1)
x1+1
yBF1=
k(x2-1)
x2+1

kAF1+kAF1=
k(x1-1)
x1+1
+
k(x2-1)
x2+1

=
k(x1-1)(x2+1)+k(x2-1)(x1+1)
(x1+1)(x2+1)

=
2k(x1x2-1)
(x1+1)(x2+1)

x1+x2=
4k2+1
2k2
x1x2=1
代入,得kAF1+kBF1=0,
综上,直线AF1与直线BF1的斜率之和为定值0.…(14分),
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