Question

13．如图，圆柱OO₁内接直三棱柱ABC-A₁B₁C₁，该三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O的直径，且AB=AA₁．在圆柱OO₁内随机选取一点，记该点取自于三棱柱ABC-A₁B₁C₁内的概率为P
（1）当点C在圆周上运动时，求P的最大值；
（2）记平面A₁ACC₁与平面B₁OC所成的角为θ（0°＜θ≤90°），当P取最大值时，求sinθ的值．

Answer 1

分析 （1）根据AC²+BC²=AB²为定值可求出V₁的最大值，从而得到P=$\frac{{V}_{1}}{V}$的最大值，P取最大值时，
（2）OC⊥AB，于是以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz，求出平面A₁ACC₁的一个法向量与平面B₁OC的一个法向量，然后求出两法向量的夹角从而得到二面角的余弦值，即可求sinθ的值．

解答 解：（1）设圆柱的底面半径为r，则AB=AA₁=2r，故三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积为
V₁=$\frac{1}{2}$AC•BC•2r=AC•BC•r，又因为AC²+BC²=AB²=4r²，
所以AC•BC≤$\frac{A{C}^{2}+B{C}^{2}}{2}$=2r²，当且仅当AC=BC=$\sqrt{2}r$时等号成立，
从而V₁≤2r³，而圆柱的体积V=πr²•2r=2πr³，
故P=$\frac{{V}_{1}}{V}$＜$\frac{2{r}^{3}}{2π{r}^{3}}$=$\frac{1}{π}$当且仅当AC=BC=$\sqrt{2}r$，即OC⊥AB时等号成立，
所以P的最大值是$\frac{1}{π}$．
（2）由（1）可知，P取最大值时，OC⊥AB，于是以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz，

则C（r，0，0），B（0，r，0），B₁（0，r，2r），
因为BC⊥平面A₁ACC₁，所以$\overrightarrow{BC}$=（r，-r，0）是平面A₁ACC₁的一个法向量，
设平面B₁OC的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{OC}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{O{B}_{1}}=0}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{rx=0}\\{ry+2rz=0}\end{array}\right.$，故$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=-2z}\end{array}\right.$，
取z=1得平面B₁OC的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（0，-2，1），因为0°＜θ≤90°，
所以cosθ=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{BC}|}$=|$\frac{2r}{\sqrt{5}•\sqrt{2}r}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．
故sinθ=$\frac{{\sqrt{15}}}{5}$

点评 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及几何体的体积、几何概型等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、必然与或然思想