题目内容

3.在锐角三角形ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,若A=2B,a=6,b=4,则c=5.

分析 由A=2B,a=6,b=4,则sinA=sin2B=2sinBcosB,运用正弦定理和余弦定理,计算解方程可得c=4或5,再由最大边所对角最大,运用余弦定理,即可判断.

解答 解:由A=2B,a=6,b=4,
则sinA=sin2B=2sinBcosB,
由正弦定理和余弦定理可得,
a=2b•$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$,
即有36c=4(36+c2-16),
解得c=4或5,
当c=4时,a最大,由余弦定理可得cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$
=$\frac{16+16-36}{2×4×4}$<0,即A为钝角,不合题意,舍去;
当c=5时,a最大,由余弦定理可得cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$
=$\frac{16+25-36}{2×4×5}$>0,即A为锐角,合题意.
故答案为:5.

点评 本题考查正弦定理和余弦定理的运用,同时考查三角函数的化简,考查运算能力,属于中档题.

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