Question

18．已知∠BAC＞90°，∠ACB=30°，AB=DB=DC，求∠CAD的度数．

Answer 1

分析 作△ABC关于直线AC的对称图象△AEC，D关于直线AC的对称点F，连接BE，DF，可得△ABE≌△FCE≌△DCB，进而△DBA≌△DCF≌△AEF，则AD=DF=AF，故∠DAF=60°，进而得到答案．

解答 解：作△ABC关于直线AC的对称图象△AEC，D关于直线AC的对称点F，
连接BE，DF，如下图所示：
则AB=DB=DC=AE=EF=CF，∠ECB=60°，BC=CE，
即△BCE为等边三角形，
故△ABE≌△FCE≌△DCB，
则∠ABC=∠AEB=∠FEC=∠FCE=∠DBC=∠DCB，
∴∠DBA=∠DCF=∠AEF，
∴△DBA≌△DCF≌△AEF，
∴AD=DF=AF，
∴△ADF为等边三角形，
∴∠DAF=60°，
∴∠CAD=$\frac{1}{2}$∠DAF=30°，

点评 本题考查的知识点是全等三角形的判断与性质，等边三角形的判断与性质，轴对称图象，辅助线作法复杂，转化困难，属于难题．