题目内容
6.已知动点P在抛物线y2=2x上,定点A(m,0)(m>0),求|PA|的最小值以及取最小值时P点的横坐标.分析 先设P点坐标为(x,y),利用两点间的距离公式求出点P与点A的距离的表达式;再结合二次函数在固定区间上的最值求法即可求出点P与点A的距离的最小值,并求得P点横坐标.
解答 解:设P(x,y),则$|PA|=\sqrt{(x-m)^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}-2mx+{m}^{2}+2x}$=$\sqrt{{x}^{2}+(2-2m)x+{m}^{2}}$,x∈(0,+∞),
设函数g(x)=x2+(2-2m)x+m2,(x∈(0,+∞)),
其对称轴方程为x=m-1,
当m-1<0,即m<1时,
g(x)=x2+(2-2m)x+m2在x≥0时为增函数,
∴$|PA{|}_{min}=\sqrt{g(0)}=\sqrt{{m}^{2}}=m$,此时P的横坐标为0;
(2)当m-1≥0即m≥1时,
g(x)=x2+(2-2m)x+m2(x≥0)在(0,m-1)上递减,在(m-1,+∞)上递增,
∴$|PA{|}_{min}=\sqrt{g(m-1)}$=$\sqrt{2m-1}$,此时P的横坐标为m-1.
综上所述,当m<1,点P与点A的距离的最小值为m,P的横坐标为0;当m≥1,点P与点A的距离的最小值为$\sqrt{2m-1}$,P的横坐标为m-1.
点评 本题考查抛物线的简单性质,考查二次函数在固定区间上的最值求法.在求二次函数在固定区间上的最值时,一定要注意分对称轴在区间左边,对称轴在区间右边以及对称轴在区间中间三种情况来讨论,此题是中档题.
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