Question

4．一个不透明的盒子中关有蝴蝶、蜜蜂和蜻蜓三种昆虫共n（n=13k，k∈N₊）只，现在盒子上开一小孔，每次只能一只昆虫飞出（任意一只昆虫等可能地飞出），已知有2只昆虫先后飞出时，飞出的至少有1只是蜜蜂的概率是$\frac{25}{39}$．
（Ⅰ）若盒子中共有13只昆虫：
①求蜜蜂有几只；
②从盒子先后任意飞出3只昆虫，记飞出蜜蜂的只数为X，求随机变量X的分布列与期望E（X）；
（Ⅱ）若只有1只昆虫飞出时，飞出的是蝴蝶的概率是$\frac{5}{13}$．证明：从盒子先后任意飞出2只昆虫，至少有1只蝴蝶飞出的概率不大于$\frac{25}{39}$，并指出盒子中哪种昆虫的只数最少．

Answer 1

分析 （Ⅰ）①设有蜜蜂x只，则其他昆虫为13C$\frac{{C}_{13-x}^{3}}{{C}_{13}^{3}}=\frac{25}{39}$-x，然后利用古典概型概率计算公式列式求得x；
②写出X的取值，利用古典概型概率计算公式求出相应的概率，列出分布列，由期望公式求得期望．
（Ⅱ）设出任意飞出两只昆虫至少有一只是蝴蝶的事件，得到其对立事件，列式证明即可．

解答 解：（Ⅰ）①“从盒子中先后飞出两只昆虫，至少有一只蜜蜂”为事件A，设盒子中蜜蜂的只数为x（x∈N+），则P（A）=1-$\frac{{C}_{13-x}^{3}}{{C}_{13}^{3}}=\frac{25}{39}$，解得：x=5，故蜜蜂有5只．
②随机变量X的取值为0，1，2，3
P（X=0）=$\frac{{C}_{8}^{3}}{{C}_{13}^{3}}=\frac{28}{143}$，P（X=1）=$\frac{{C}_{5}^{1}{C}_{8}^{2}}{{C}_{13}^{3}}=\frac{70}{143}$
P（X=2）=$\frac{{C}_{5}^{2}{C}_{8}^{1}}{{C}_{13}^{3}}=\frac{40}{143}$，P（X=3）=$\frac{{C}_{5}^{3}}{{C}_{13}^{3}}=\frac{5}{143}$
故X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{28}{143}$	$\frac{70}{143}$	$\frac{40}{143}$	$\frac{5}{143}$

EX=1×$\frac{70}{143}+2×\frac{40}{143}+3×\frac{5}{143}=\frac{15}{13}$
（Ⅱ）证明：设盒子中由y只蝴蝶，由题意得y=$\frac{5}{13}n$，
记“任意飞出两只昆虫，至少有一只是蝴蝶”为事件B，则事件$\overline{B}$为“任意飞出2只昆虫，其中没有蝴蝶”；
P（B）=1-P（$\overline{B}$）=1-$\frac{{C}_{n-y}^{2}}{{C}_{n}^{2}}$=$\frac{105}{169}+\frac{40}{169（n-1）}$
当n=13时，P_max（B）=$\frac{105}{169}+\frac{40}{2028}=\frac{25}{39}$，所以P（B）$≤\frac{25}{39}$
又因为有2只昆虫先后分出，分出的至少有1只是蜜蜂的概率为$\frac{25}{39}$，所以盒子中蜜蜂的只数不少于蝴蝶只数，即蜜蜂的只数不少于$\frac{5}{13}n$，故蜻蜓的只数最多为$\frac{3}{13}n$，
因此盒子中蜻蜓数最少．

点评 本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了离散型随机变量的分布列与期望，属中档题．