题目内容
【题目】如图,在高为
的等腰梯形
中,
,且
,
,将它沿对称轴
折起,使平面
平面
,如图
,点
为
的中点,点
在线段
上(不同于
,
两点),连接
并延长至点
,使
.
(1)证明:平面
;
(2)若,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
(1)建立空间直角坐标系,把证明平面
的问题转化为证明
,
即可;(2)求出平面
的法向量为
和平面
的一个法向量为
,把求二面角
的余弦值的问题转化为求
与
的夹角的余弦值的问题即可.
(1)证明:由题设知,
,
两两垂直,所以
为坐标原点,
,
,
所在直线分别为
轴,
轴,
轴建立如图所示的空间直角坐标系,设
的长为
,
则,
,
,
,
,
).
因为点为
的中点,所以
,
所以,
,
.
因为,
,
所以,
,又
与
不共线,
所以平面
.
(2)解 因为,
,所以
,
则,所以
,
.
设平面的法向量为
,
由得
令,则
,
,
.
易得平面的一个法向量为
.
设二面角的大小为
,由图可知,
为锐角,
则,
即二面角的余弦值为
.
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