题目内容
【题目】已知椭圆,
为左焦点,
为上顶点,
为右顶点,若
,抛物线
的顶点在坐标原点,焦点为
.
(1)求的标准方程;
(2)是否存在过点的直线,与
和
交点分别是
和
,使得
?如果存在,求出直线的方程;如果不存在,请说明理由.
【答案】(1);(2)
或
【解析】分析:(1)由题设有,再根据
可得
的值,从而得到椭圆的标准方程.
(2)因为,故
,设直线方程为
,分别联立直线与椭圆、直线与抛物线的方程,消去
后利用韦达定理用
表示
,解出
后即得直线方程.
详解:(1)依题意可知,即
,
由右顶点为得
,解得
,所以
的标准方程为
.
(2)依题意可知的方程为
,假设存在符合题意的直线,
设直线方程为,
,
联立方程组,得
,
由韦达定理得,则
,
联立方程组,得
,由韦达定理得
,所以
,
若,则
,即
,解得
,
所以存在符合题意的直线方程为或
.
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