题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,底面
为菱形,
,
,
为线段
的中点,
为线段
上的一点.
(1)证明:平面平面
.
(2)若,二面角
的余弦值为
,求
与平面
所成角的正弦值.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)由得
平面PAE,进而可得证;
(2)先证得平面
,设
,以
为坐标原点,
的方向为
轴正方向,建立空间直角坐标系
,分别计算平面
的法向量为
和
,设
与平面
所成角为
,则
,代入计算即可得解.
(1)证明:连接,因为
,
为线段
的中点,
所以.
又,
,所以
为等边三角形,
.
因为,所以
平面
,
又平面
,所以平面
平面
.
(2)解:设,则
,因为
,所以
,
同理可证,所以
平面
.
如图,设,以
为坐标原点,
的方向为
轴正方向,建立空间直角坐标系
.
易知为二面角
的平面角,所以
,从而
.
由,得
.
又由,
,知
,
.
设平面的法向量为
,
由,
,得
,不妨设
,得
.
又,
,所以
.
设与平面
所成角为
,则
.
所以与平面
所成角的正弦值为
.
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练习册系列答案
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表示
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季度 | |||||
季度编号x | |||||
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,
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.
参考数据:,