题目内容

20.已知函数f(x)=$\frac{1}{3}$x3-$\frac{1}{2}$(2a+1)x2+(a2+a)x.若函数f(x)在x=1处取得极大值,求实数a的值.

分析 f′(x)=x2-(2a+1)x+(a2+a)=[x-(a+1)](x-a),由函数f(x)在x=1处取得极大值,可得f′(1)=-a(1-a)=0,解得a=0或a=1.对a分类讨论研究函数的单调性极值即可得出.

解答 解:f′(x)=x2-(2a+1)x+(a2+a)=[x-(a+1)](x-a),
∵函数f(x)在x=1处取得极大值,
∴f′(1)=-a(1-a)=0,解得a=0或a=1.
①当a=0时,f′(x)=x(x-1),
当x>1或x<0时,f′(x)>0,此时函数f(x)单调递增;当0<x<1时,f′(x)<0,此时函数f(x)单调递减.
此时x=1是函数f(x)的极小值点,舍去.
②当a=1时,f′(x)=(x-2)(x-1),
当x>2或x<1时,f′(x)>0,此时函数f(x)单调递增;当1<x<2时,f′(x)<0,此时函数f(x)单调递减.
此时x=1是函数f(x)的极大值点,满足条件.
综上可得:a=1.

点评 本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值,考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力,属于中档题.

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