Question

11．在锐角△ABC中，∠A=30°，O为△ABC所在平面内一点，满足$\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}$cosB+$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$cosC=$\overrightarrow{AO}$，则|$\overrightarrow{AO}$|=（　　）

• A． -$\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 不妨假设锐角△ABC为等腰三角形，可得∠B=∠C=75°，求得cosB=cosC=cos75°的值，再利用两个向量的数量积的运算公式求得，|$\overrightarrow{AO}$|=$\sqrt{{（\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}cosB+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}cosC）}^{2}}$ 的值．

解答 解：不妨假设锐角△ABC为等腰三角形，则由∠A=30°，可得∠B=∠C=75°，
∴cosB=cosC=cos75°=cos（45°+30°）=cos45°cos30°-sin45°sin30°=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$．
由题意可得，|$\overrightarrow{AO}$|=$\sqrt{{（\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}cosB+\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}cosC）}^{2}}$=$\sqrt{{cos}^{2}B{+cos}^{2}C+2cosBcosC•cos30°}$
=$\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{4}+\frac{2-\sqrt{3}}{4}+\sqrt{3}•\frac{2-\sqrt{3}}{4}}$=$\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{4}•（2+\sqrt{3}）}$=$\frac{1}{2}$，
故选：D．

点评 本题主要考查两角和的余弦公式的应用，求向量的模，两个向量的数量积的运算，属于中档题．