Question

15．已知正三棱柱的体积为64，当正三棱柱外接球体积最小时，正三柱侧面积为多少？

Answer 1

分析 利用棱柱的体积，以及外接球的体积的表达式，求出a，h，即可求出正三柱侧面积．

解答 解：设正三棱柱的底面边长为a，高为2h，
正三棱柱的体积为64，
可得：$\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}×2h=64$．即${a}^{2}h=\frac{128\sqrt{3}}{3}$
正三棱柱外接球的半径：R=$\sqrt{{h}^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{3}a）^{2}}$=$\sqrt{{h}^{2}+\frac{{a}^{2}}{3}}$．
正三棱柱外接球体积：V=$\frac{4}{3}{π（\sqrt{{h}^{2}+\frac{{a}^{2}}{3}}）}^{3}$=$\frac{4}{3}{π（{h}^{2}+\frac{{a}^{2}}{3}）\sqrt{{h}^{2}+\frac{{a}^{2}}{3}}}^{\;}$=$\frac{4}{3}{π（{h}^{2}+\frac{{a}^{2}}{6}+\frac{{a}^{2}}{6}）\sqrt{{h}^{2}+\frac{{a}^{2}}{6}+\frac{{a}^{2}}{6}}}^{\;}$
=$\frac{4}{3}{π\sqrt{{（h}^{2}+\frac{{a}^{2}}{6}+\frac{{a}^{2}}{6}）^{3}}}^{\;}$≥$\frac{4π}{3}\sqrt{{（3\root{3}{{h}^{2}•\frac{{a}^{2}}{6}•\frac{{a}^{2}}{6}}）}^{3}}$=$\frac{4π}{3}\sqrt{{27×\frac{1}{36}{（a}^{2}h）}^{2}}$=$\frac{4π}{3}\sqrt{{27×\frac{1}{36}（\frac{128\sqrt{3}}{3}）}^{2}}$
=$\frac{128π}{3}$，
当且仅当：${h}^{2}=\frac{{a}^{2}}{6}$，${a}^{2}h=\frac{128\sqrt{3}}{3}$，解得h=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，a=4$\sqrt{2}$．等号成立．
此时：正三柱侧面积：3a×2h=$3×4\sqrt{2}×2×\frac{4\sqrt{3}}{3}$=32$\sqrt{6}$．

点评 本题考查球的内接体，外接球的体积的求法，棱柱的侧面积的求法，考查计算能力．