Question

9．已知a＞0，b＞0，求证：（$\frac{{a}^{2}}{b}$）${\;}^{\frac{1}{2}}$+（$\frac{{b}^{2}}{a}$）${\;}^{\frac{1}{2}}$≥a${\;}^{\frac{1}{2}}$+b${\;}^{\frac{1}{2}}$．

Answer 1

分析 通过作差、整理可知（$\frac{{a}^{2}}{b}$）${\;}^{\frac{1}{2}}$+（$\frac{{b}^{2}}{a}$）${\;}^{\frac{1}{2}}$-（a${\;}^{\frac{1}{2}}$+b${\;}^{\frac{1}{2}}$）=$\frac{（a-b）（\sqrt{a}-\sqrt{b}）}{\sqrt{ab}}$，利用a＞0、b＞0可知a-b＞0、$\sqrt{a}-\sqrt{b}$＞0，进而计算可得结论．

解答 证明：（$\frac{{a}^{2}}{b}$）${\;}^{\frac{1}{2}}$+（$\frac{{b}^{2}}{a}$）${\;}^{\frac{1}{2}}$-（a${\;}^{\frac{1}{2}}$+b${\;}^{\frac{1}{2}}$）
=$\frac{a}{\sqrt{b}}$+$\frac{b}{\sqrt{a}}$-（$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$）
=$\frac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{\sqrt{ab}}$-（$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$）
=$\frac{a\sqrt{a}+b\sqrt{b}-a\sqrt{b}-b\sqrt{a}}{\sqrt{ab}}$
=$\frac{a（\sqrt{a}-\sqrt{b}）+b（\sqrt{b}-\sqrt{a}）}{\sqrt{ab}}$
=$\frac{（a-b）（\sqrt{a}-\sqrt{b}）}{\sqrt{ab}}$，
又∵a＞0、b＞0，
∴a-b＞0、$\sqrt{a}-\sqrt{b}$＞0，
∴$\frac{（a-b）（\sqrt{a}-\sqrt{b}）}{\sqrt{ab}}$＞0，
∴（$\frac{{a}^{2}}{b}$）${\;}^{\frac{1}{2}}$+（$\frac{{b}^{2}}{a}$）${\;}^{\frac{1}{2}}$≥a${\;}^{\frac{1}{2}}$+b${\;}^{\frac{1}{2}}$．

点评 本题考查不等式的证明，利用作商法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．