题目内容
【题目】已知椭圆
的左、右焦点分别为
，离心率
，且椭圆的短轴长为2.
（1）球椭圆的标准方程；
（2）已知直线
过右焦点
，且它们的斜率乘积为
，设分别与椭圆交于点
和
.
①求
的值；
②设
的中点
，
的中点为，求
面积的最大值.
【答案】（1）
；（2）①
；②
.
【解析】
；
（1）由椭圆短轴长为2，得b=1，再由离心率结合
计算即可得到椭圆的方程;（2）① 由直线
过右焦点
，设出直线AB方程，将AB方程与椭圆方程联立，写出韦达定理计算弦长AB, 由两直线斜率乘积为
，将弦长AB中的斜率变为
可得弦长CD,相加即得结果;②由中点坐标公式可得点M,N坐标，观察坐标知MN中点T在x轴上，所以
，整理后利用基本不等式即可得面积的最值.
（1） 由题设知：
解得
故椭圆的标准方程为.
（2）①设
的直线方程为
，
联立
消元
并整理得
，
所以
，
，
于是
，
同理
，
于是
.
②由①知
，
，
，
，
所以
，
，
所以
的中点为
，
于是
，
当且仅当
，即
时取等号，
所以
面积的最大值为.
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