题目内容
【题目】已知函数,,.
(1)当,时,求函数的最小值;
(2)当,时,求证方程在区间上有唯一实数根;
(3)当时,设是函数两个不同的极值点,证明:.
【答案】(1)(2)见解析(3)见解析
【解析】
(1)构造新函数y=,求导判断单调性,得出最小值e.(2)变量分离a=- =h(x),根据函数的单调性求出函数h(x)的最小值,利用a的范围证明在区间(0,2)上有唯一实数根;(3)求出 ,问题转化为证 ,令x1﹣x2=t,得到t<0,根据函数的单调性证明即可.
(1)当=0,时,= ,求导y’= =0的根x=1
所以y在(-),(0,1)递减,在(1,+ )递增,
所以y =e
(2)+=0,所以a=- =h(x)
H’(x)=- =0的根x=2
则h(x)在(0,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减,
所以h(2)是y=h(x)的极大值即最大值,即
所以函数f(x)在区间(0,2)上有唯一实数根;
(3)= -
F’(x)-2ax-a=0的两根是,
∵x1,x2是函数F(x)的两个不同极值点(不妨设x1<x2),
∴a>0(若a≤0时,f'(x)>0,即F(x)是R上的增函数,与已知矛盾),
且F'(x1)=0,F'(x2)=0.∴,…
两式相减得:,…
于是要证明,即证明,两边同除以,
即证,即证,即证,
令x1﹣x2=t,t<0.即证不等式,当t<0时恒成立.
设,∴=
设,∴,
当t<0,h'(t)<0,h(t)单调递减,
所以h(t)>h(0)=0,即,
∴φ'(t)<0,∴φ(t)在t<0时是减函数.
∴φ(t)在t=0处取得极小值φ(0)=0.
∴φ(t)>0,得证.
∴.
【题目】20名高二学生某次数学考试成绩(单位:分)的频率分布直方图如图:
(1)求频率分布直方图中的值;
(2)分别求出成绩落在与中的学生人数;
(3)从成绩在的学生中任选2人,求此2人的成绩都在中的概率.
【题目】随着我国经济的发展,居民的储蓄存款逐年增长。设某地区城乡居民人民币储蓄存款(单位:亿元)的数据如下:
年份 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
年份代号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
储蓄存款 | 3.4 | 3.6 | 4.5 | 4.9 | 5.5 | 6.1 | 7.0 |
(1)求关于的线性回归方程;
(2)2018年城乡居民储蓄存款前五名中,有三男和两女。现从这5人中随机选出2人参加某访谈节目,求选中的2人性别不同的概率。
附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:,。