题目内容

直线与椭圆交于两点,已知,若且椭圆的离心率,又椭圆经过点为坐标原点.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若直线过椭圆的焦点为半焦距),求直线的斜率的值;
(Ⅲ)试问:的面积是否为定值?如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由.
(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)三角形的面积为定值。证明见解析
(I)由e和椭圆过点可得到关于a,b的两个方程,从而解出a,b值求出椭圆的方程.
(II) 设的方程为,由已知得:
=0,
然后直线方程与椭圆方程联立消y后得到关于x的一元二次方程,利用韦达定理建立关于k的方程求出k值.
(III)要讨论AB斜率存在与不存在两种情况.研究当AB斜率存在时,由已知,得,又在椭圆上,所以,从而证明出为定值.
解:(Ⅰ)∵  ……2分
   
∴椭圆的方程为……………3分
(Ⅱ)依题意,设的方程为

显然
      ………………5分
由已知得:
 
 
解得            ……………………6分
(Ⅲ)①当直线斜率不存在时,即
由已知,得
在椭圆上,
所以
 ,三角形的面积为定值.………7分
②当直线斜率存在时:设的方程为

必须 即
得到        ………………9分
,∴
代入整理得:              …………………10分
   …………11分
    所以三角形的面积为定值. ……12分
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