Question

2．在数列{a_n}中，a₁=0，a_n+1（$\frac{5}{2}$-a_n）=1，令b_n=$\frac{{2a}_{n}-1}{{a}_{n}-2}$，且T=b₁+2b₂+3b₃+…+2014b₂₀₁₄，求证：T＜$\frac{8}{9}$．

Answer 1

分析 通过a_n+1（$\frac{5}{2}$-a_n）=1、化简可知b_n+1=$\frac{2{a}_{n+1}-1}{{a}_{n+1}-2}$=$\frac{1}{4}$•b_n，进而可知数列{b_n}是以$\frac{1}{2}$为首项、公比为$\frac{1}{4}$的等比数列，利用错位相减法计算即得结论．

解答 证明：∵a_n+1（$\frac{5}{2}$-a_n）=1，
∴a_n+1=$\frac{1}{\frac{5}{2}-{a}_{n}}$，
∴b_n+1=$\frac{2{a}_{n+1}-1}{{a}_{n+1}-2}$=$\frac{\frac{2}{\frac{5}{2}-{a}_{n}}-1}{\frac{1}{\frac{5}{2}-{a}_{n}}-2}$=$\frac{\frac{4}{5-2{a}_{n}}-1}{\frac{2}{5-2{a}_{n}}-2}$=$\frac{2{a}_{n}-1}{4（{a}_{n}-2）}$=$\frac{1}{4}$•b_n，
又∵b₁=$\frac{2{a}_{1}-1}{{a}_{1}-2}$=$\frac{0-1}{0-2}$=$\frac{1}{2}$，
∴数列{b_n}是以$\frac{1}{2}$为首项、公比为$\frac{1}{4}$的等比数列，
∴b_n=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{{4}^{n-1}}$=$\frac{2}{{4}^{n}}$，
∴T=b₁+2b₂+3b₃+…+2014b₂₀₁₄=2（1•$\frac{1}{4}$+2•$\frac{1}{{4}^{2}}$+3•$\frac{1}{{4}^{3}}$+…+2014•$\frac{1}{{4}^{2014}}$），
$\frac{1}{4}$T=2（1•$\frac{1}{{4}^{2}}$+2•$\frac{1}{{4}^{3}}$+…+2013•$\frac{1}{{4}^{2014}}$+2014•$\frac{1}{{4}^{2015}}$），
两式相减得：$\frac{3}{4}$T=2（$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{{4}^{2}}$+$\frac{1}{{4}^{3}}$+…+$\frac{1}{{4}^{2014}}$-2014•$\frac{1}{{4}^{2015}}$）
=2[$\frac{\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{4}^{2014}}）}{1-\frac{1}{4}}$-2014•$\frac{1}{{4}^{2015}}$]
=2[$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{{4}^{2014}}$）-2014•$\frac{1}{{4}^{2015}}$]，
∴T=$\frac{4}{3}$•2[$\frac{1}{3}$（1-$\frac{1}{{4}^{2014}}$）-2014•$\frac{1}{{4}^{2015}}$]＜$\frac{4}{3}$•2•$\frac{1}{3}$=$\frac{8}{9}$．

点评 本题考查数列的通项及求和，考查运算求解能力，考查错位相减法，注意解题方法的积累，属于中档题．