题目内容
【题目】某沿海特区为了缓解建设用地不足的矛盾,决定进行围海造陆以增加陆地面积.如图,两海岸线,
所成角为
,现欲在海岸线
,
上分别取点
,
修建海堤,以便围成三角形陆地
,已知海堤
长为6千米.
(1)如何选择,
的位置,使得
的面积最大;
(2)若需要进一步扩大围海造陆工程,在海堤的另一侧选取点
,修建海堤
,
围成四边形陆地.当海堤
与
的长度之和为10千米时,求四边形
面积的最大值.
【答案】(1)当,
两点距离
点都为
千米时,最大面积为
(平方千米);
(2)四边形面积的最大值为
(平方千米).
【解析】
(1)设,
,由余弦定理得:
,
因为,即
,当且仅当
时取得等号;
(2)要求四边形面积的最大值,只需求
面积的最大值.在
中,
,所以点
的轨迹是以
,
为焦点,长轴长10的椭圆(夹在两海岸线
,
区域内的曲线),根据椭圆的几何性质,求出
点到
距离的最大值即可得到最大面积.
(1)设,
,(单位:千米)
在中,由余弦定理得:
,
因为,
,
,
,
所以,,
故,当且仅当
时取得等号,
此时,(平方千米).
所以,当,
两点距离
点都为
千米时,
的面积最大,最大面积为
(平方千米).
(2)由(1)知,要求四边形面积的最大值,只需求
面积的最大值.
在中,
,所以点
的轨迹是以
,
为焦点,长轴长10的椭圆(夹在两海岸线
,
区域内的曲线),
以所在直线为
轴,
的垂直平分线为
轴建立平面直角坐标系,
设点所在的椭圆方程为
,焦距为
,
由,
得:
,
所以点所在的椭圆方程为
.
设,则
,因为
,
所以(平方千米),当且仅当
(千米)时取得等号.
所以,四边形面积的最大值为
(平方千米).
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