题目内容
7.求证:$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{n+1}$<1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$<2-$\frac{1}{n}$(n≥2,n∈N+).分析 n≥2,$\frac{1}{{n}^{2}}$<$\frac{1}{n(n-1)}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$,$\frac{1}{{n}^{2}}$>$\frac{1}{n(n+1)}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$,利用叠加法,即可证明结论.
解答 证明:n≥2,$\frac{1}{{n}^{2}}$<$\frac{1}{n(n-1)}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$,
∴1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$<1+1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$<2-$\frac{1}{n}$;
$\frac{1}{{n}^{2}}$>$\frac{1}{n(n+1)}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$,
∴1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$>1+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$>$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{n+1}$,
∴$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{n+1}$<1+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{n}^{2}}$<2-$\frac{1}{n}$(n≥2,n∈N+).
点评 本题考查不等式的证明,考查放缩法,考查叠加法,正确放缩是关键.
A. | (0,$\frac{π}{2}$) | B. | ($\frac{π}{2}$,π) | C. | (π,$\frac{3π}{2}$) | D. | ($\frac{3π}{2}$,2π) |