题目内容

12．P，Q是实数集R的两个非空子集，若函数f（x）满足当x∈P时，$f（x）=2x-\frac{1}{x}$；当x∈Q时，f（x）=x．记A={y|y=f（x），x∈P}，B={y|y=f（x），x∈Q}，下列四个命题中：
（1）若P∩Q=∅，则A∩B=∅
（2）若P∩Q≠∅，则A∩B≠∅
（3）若P∪Q=R，则A∪B=R
（4）若P∪Q≠R，则A∪B≠R
则其中正确命题的个数为（　　）个．
A．1个B．2个C．3个D．4个

分析 由题意，$f（x）=2x-\frac{1}{x}$是单调增函数，两函数的图象的交点坐标为（1，1），（-1，-1），对四个命题分别进行判断，即可得出结论．

解答 解：由题意，$f（x）=2x-\frac{1}{x}$是单调增函数，两函数的图象的交点坐标为（1，1），（-1，-1）．
则（1）若P∩Q=∅，则A∩B=∅，不正确，比如P∩Q=（1，+∞），A∩B=（1，+∞）；
（2）若P∩Q≠∅，则A∩B≠∅，不正确，比如P∩Q=（-1，1），A∩B=∅；
（3）若P∪Q=R，则A∪B=R，不正确，比如Q=（-∞，2），P=[2，+∞），A=[$\frac{7}{2}$，+∞），B=（-∞，2），A∪B≠R；
（4）若P∪Q≠R，则A∪B≠R，正确．
故选：A．

点评 本题考查集合的交、并运算，考查学生的计算能力，属于中档题．

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