Question

3．已知函数f（x）=ln（$\sqrt{1+9{x}^{2}}$-3x）+1，计算f（lg2）+f（lg$\frac{1}{2}$）的值．

Answer 1

分析 根据对数的运算法则进行计算即可．

解答 解：∵f（x）=ln（$\sqrt{1+9{x}^{2}}$-3x）+1，
∴f（x）-1=ln（$\sqrt{1+9{x}^{2}}$-3x），
设g（x）=f（x）-1=ln（$\sqrt{1+9{x}^{2}}$-3x），
则g（-x）+g（x）=ln（$\sqrt{1+9{x}^{2}}$-3x）+ln（$\sqrt{1+9{x}^{2}}$+3x）=ln[（$\sqrt{1+9{x}^{2}}$-3x）（$\sqrt{1+9{x}^{2}}$+3x）]=ln（1+9x²-9x²）=ln1=0，
即g（-x）=-g（x）是奇函数，
则g（x）=f（x）-1=ln（$\sqrt{1+9{x}^{2}}$-3x）是奇函数，
∵f（lg2）+f（lg$\frac{1}{2}$）=f（lg2）+f（-lg2），
∴f（-lg2）-1=-[f（lg2）-1]=-f（lg2）+1，
则f（lg2）+f（-lg2）=1+1=2．

点评 本题主要考查函数值的计算，根据条件结合对数的运算法则，判断g（x）=f（x）-1=ln（$\sqrt{1+9{x}^{2}}$-3x）是奇函数是解决本题的关键．